函数
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，用来描述跟曲线相关的一个量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数，此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。中文的“函数”一词由清朝数学家李善兰译出。其《代数学》书中解释：“凡此变量中函（包含）彼变量者，则此为彼之函数”。
1718年，约翰·伯努利把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”
1748年，伯努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”，例如{\displaystyle f(x)=\sin(x)+x^{2}}{\displaystyle f(x)=\sin(x)+x^{2}}。
1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”
19世纪的数学家开始对数学的各个分支进行形式化。维尔斯特拉斯倡议将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，这种主张较趋向于欧拉的定义。
函数的定义得以扩展之后，数学家便能对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如处处不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来进行数学的形式化。他们试图将每一个数学对象都定义为集合。狄利克雷给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。在他的定义下，函数被视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。